La propagation d'onde dans un milieu en présence de paquets d'ondes cohérent suit une règle très simple l'interaction se produit lorsque localement la relation de Bragg est vérifiée ce qui se traduit par la condition la longueur d'onde de la perturbation cohérente est deux fois plus petite que la longueur d'onde locale. En réalité, l'intervalle de longueur d'onde satisfaisant à la règle de Bragg est approximativement donné par la largeur des zones instables de l'équation de Mathieu et donc dépend de l'amplitude des fluctuations de densité d'une part et d'autre part les spectres en nombre d'ondes de la perturbation de densité et du paquet d'ondes sonde sont à considérer pour déterminer s'il y a ou non diffusion de Bragg lors du passage de l'onde sonde au travers de la perturbation. Il faut aussi tenir compte des fortes variations de gradient d'indice au voisinage de la densité de coupure qui peuvent alors être vues comme des sauts d'indice induisant une réflexion partielle de l'onde sonde comme cela montré plus ci-après.
The wave progation in a medium including localized coherent densité perturbations follows a very simple rule,the interaction takes place when the Bragg law is fulfilled. That corresponds to the following condition the wavelength associated to the density perturbation is equal to the local half-wavelength of the probing wave. In fact, it is a wavenumber range, which is obtained by Mathieu's equation looking at the width of the instable zones for a given amplitude. In addition one has to consider the wavenumber spectra of the probing wavepacket and of the localized density perturbation to determine if Bragg scattering arises when the probing wave propagates through the density perturbation. The high index variations have to be taken into account especially close to the cut-off layer because they induce partial reflections as it will be shown later.
Figure 1: Cas d'un pulse large où les effets de spectre en fréquence peuvent être négligés. On constate un phénomène de battement induit par la superposition de l'onde incidente et diffusée. La largeur du pulse diffusé est l'image du temps de traversée de la perturbation de densité par le pulse de sondage. Wide probing pulse case forwhich the frequency spectrum is Dirac-like-single probing wavenumber. A beat wave can be associated to the superimposition of the backscattered and incident wave. One can see that the scattered pulse is wider and its width corresponds to the transit time of the probing pulse through the density perturbation.
Figure 2: Cas d'un pulse où les effets de spectre en fréquence sont à inclure. Le même phénomène de battement induit par la superposition de l'onde incidente et diffusée peut être aussi observé. L'amplitude de l'onde diffusée est un peu plus faible du aux effets de spectre. Probing pulse case with spectral effects. The same beat wave effect can be seen as Fig. 1. The amplitude of the scattered pulse is lower due to the spectral effects.
Il faut étudier l'impact des fortes amplitudes de fluctuations de densité sur la propagation de l'onde, toutefois il faut distinguer les différents effets liés au spectre en nombre d'ondes où l'un inclut les effets de la rétrodiffusion de Bragg et l'autre l'exclut. Regardons d'abord l'effet de la diffusion vers l'avant ou effet d'indice moyen. Pour cela nous choisissons un spectre sans nombre d'ondes résonant de Bragg (k_f << k_Airy) où seuls les effets de diffusion vers l'avant peuvent exister. Une propriété supplémentaire est ajoutée pour annuler les effets d'indice au premier ordre en imposant < n >_espace= 0. La dépendance non-linéaire de la vitesse de propagation va entraîner un ralentissement de l'onde sonde. Pour observer cela il suffit de regarder les instantanés des pulses après la tranversé du plasma (voir Fig. 3). Sur le film présenté, les effets de fortes variations d'indice au voisinage de la densité critique (voir Fig4.).
It is interesting to study the modification induced by the the high turbulence level, however we have to distinguish the different effecfs connected to the properties of the wavenumber spectrum where one includes the Bragg backscattering and the other none. First a look on forward scattering effects or average index effects is shown. A wavenumber spectrum is chosen without Bragg resonant wavenumber (k_f << k_Airy) where only the forward scattering can happen. An additional property is used the saptial average of the density f
fluctuation is imposed to zero (< n >_espace= 0). The non-linear dependency of the group velocity induces a slowing down of the probing wave. A snapshot of the transmitted pulse taken at the same time shows that clearly (see Fig.3). On the movie (see Fig.4), the partial reflections discussed previously are obvious when the high index variations exist.
Figure 3: Visualisation du retard induit par des fluctuations de densité à moyenne spatial nulle. Proof of time-delay induced by the high density fluctuation level.
Figure 4: Propagation d'un pulse dans un milieu fortement turbulent avec des effets de réflexions partielles - Propagation of a pulse in highly turbulent plasma showing partial reflection.
Il est clair que les effets de dispersion se produisent et sont accrus en présence de forte turbulence comme il est possible de le voir sur la figure 5.
It becomes easy to see that the dispersion is enhanced, as shown on Fig.5, due to high turbulence level. :
Figure 5: Représentation du pulse sans turbulence et avec ce qui induit de la dispersion en présence des fluctuations de densité de forte amplitude à moyenne spatial nulle. Enhanced dispersion induced by the high density fluctuation level shown par comparison of pulse shape after propagation in a plasma with and with density fluctuations having a null spatial average.
L'animation ci-dessus montre les variations de l'amplitude correspondant aux variations de la vitesse de groupe, on remarque toutefois que les fortes variations de densité non-résonantes de Bragg ne jouent quasiment pas de rôle sur la propagation, seules des petites oscillations relatent d'une réflexion liée aux fortes variations d'indice.
groupe.
The movie just above exhibits amplitude variations linked to the group velocity variations, one can notice that the high density non-Bragg resonant play very few role of the wave propagation, only small oscillations connected to the small reflections associated to high index variations.
La superposition d'une perturbation à spectre large incluant des nombres d'ondes résonants de Bragg conduit à la rétrodiffusion de l'onde sonde entraînant l'apparition d'oscillations. Le choix judicieux du pas de temps entre chaque image permet d'observer la vitesse de phase ce qui n'est pas le cas de l'animation précédente.
The addition of density fluctuations with a wide spectrum including Bragg resonant wavenumber induces backscattering of the probing wave that produces oscillations. An appropriate choice of the time step it is possible to observe the phase velocity.
La turbulence via la multidiffusion des ondes peut créer des résonances locales. Les conditions choisies (amplitude et spectre de la turbulence) permettent de n'avoir aucune onde transmise quand il n'y a pas de résonance. Toutefois sans turbulence le plasma est transparent comme la première image le montre. Ce choix conduit à une illustration d'un générateur de pulses émis aléatoirement dans le temps dont l'origine est lié à l'apparition de résonances dans le plasma turbulent. La distribution du champ électrique de l'onde évolue dans l'espace et le temps comme montré à l'aide de l'animation.
Multi-scattering induced by turbulence is able to generate localized resonances in the plasma. The chosen inputs (amplitude , and wavenumber spectrum) permit to define a configuration without wave transmission, however without trubulence the plasma is transparent as shown on the first frame. This choice illustrates the possibility to built a random generator of pulses based on the existence of wave resonances in turbulent plasmas. To show the time evolution of the spatial distribution of the launch wave electric field a movie is used.
Pour expliquer ce phénomène un retour au mécanisme de base est nécessaire où une condition de résonance doit être satisfaite localement comme cela est illustré sur l'animation suivante. Pour construire une cavité résonante, il faut avoir l'équivalent de deux miroirs avec un fort taux de réflexion ce qui sera fournit par des perturbations de densité résonantes de Bragg d'amplitude modérée. Ces surfaces réflechissantes sont placées à une distance permettant une interférence constructive entre les miroirs d'où la cavité résonante conduisant à un champ électrique intense. Les multi-réflexion sont en réalité des multi-diffusions. Il est possible de remplacer un miroir résonant de Bragg par une coupure; c'est le cas le plus probable dans les plasmas inhomogènes.
The explanation of such phenomena is based on the basic mechanisms associated to the resonances. The existence resonances require localized conditions as shown in the following movie. To built a resonant cavity, the need to have two reflected mirrors which can be provided by two Bragg resonant density perturbations with a modered amplitude. The requirement of the mirrors positionning stays simple knowing that is connected to a constructive interferences, and then drives a very intense wave electric field. These multireflections are in reality multiscatterings. It is possible to replace the Bragg mirror by a cut-off layer, and in this case of inhomogeneous plasmas that is the most encountered configuration.
L'évolution du champ électrique de l'onde de sondage en fonction de la phase d'une des perturbations de densité démontre la présence d'une résonance de l'onde sonde entre les 2 miroirs de Bragg. En même temps, le constat peut être fait que lors de la résonance l'onde est transmise au travers de la cavité et lors du saut de phase le champ résonant s'inverse. Dans le même temps, l'observation du champ total une fois renormalisé par l'amplitude du champ incident permet de voir que ce dernier varie de 2 (cas de la réflexion totale) jusqu' à des valeurs inférieures à 1 correspondant à un phénomène d'interférences destructives. La valeur 1 correspond au cas où l'onde est totalement transmise. Le module du champ de l'onde montre alors cette réalité quand le champ total ne présente plus de modulation.
The behaviour of the probing wave as a function of the density fluctuation phase inside the envelop shows clearly a resonance between the two Bragg mirrors. On this movie, one can see that the wave is fully transmitted through the cavity during a resonance. At the phase jump the inside electric field is reversed. Other observations can be done as: the amplitude of the total wave electric field is equal to 2 when the probing wave is totally reflected, and this amplitude can be less than one if destructive interferences take place. The modulation amplitude of the wave electric field modulus gives an information of the reflection coefficient and it is zero (no modulation) when the wave transmission coefficient is one as it is during a resonance.
évolution de la phase de l'onde réfléchie en fonction de la phase de la modulation de la perturbation de densité. La transition rapide correspond à une variation rapide de l'amplitude du champ entre la coupure et la perturbation résonante de Bragg la plus proche. Puis la phase de la perturbation de densité change jusqu'à ce que la condition de résonance entre les deux de Bragg soit satisfait entreinant une forte variation de phase du signal réfléchi mais moins rapide que le premier saut de phase dû à une variation plus lente du champ résonant entre les miroirs.
Phase evolution of the reflected signal as a function of the phase of the density perturbation. The steepest phase variation is associated to the fastest variation in the cavity constituted by the cut-off layer and the nearest Bragg resonant density perturbation. After the phase variations of the density modulation changes to reach the second resonance, which exhibits a slower phase jump due to a lower wave intensity evolution between the both Bragg mirrors.
La notion d'onde plane s'avère des plus utile pour appréhender des phénomènes complexes tels que les phénomènes non-linéaires ou d'un ordre supérieur mais il n'est pas toujours nécessaire d'évoquer de telles complications alors que des effets géométriques ayant des signatures similaires peuvent expliquer le phénomène observé. La difficulté et la complexité vient de l'aspect multidimensionnelle du problème, un problème 2D reste abordable tant que les différentes échelles régissant le phénomène restent accessibles à la simulation. Cela devient rapidement inapplicables en 3D. La perte de résolution de la réflectométrie dés que de la turbulence devient d'amplitude importante pour un même gradient d'indice s'explique par la perte de directivité du faisceau se propageant dans un milieu diffusant. Le rôle de la diffusion vers l'avant est prépodarant dans les cas où des petites valeurs de nombres d'ondes existent ou que des petites structures diffractant le faisceau existent.
The plane wave concept proves more useful to understand complex phenomena such as non-linear or higher order phenomena, but it is not always necessary to discuss such complications while having geometric effects similar signatures can explain the observed phenomenon. The difficulty and complexity comes from the multidimensional aspect of the problem, a 2D problem remains affordable as different scales governing the phenomenon remain accessible to the simulation. It quickly becomes inapplicable in 3D.Loss of resolution of the doppler reflectometry when the turbulence has significant amplitude for the same index gradient can be explained by the loss of directional beam propagating in a scattering medium. The role of the forward scattering is prépodarant where small values of wave numbers or small beam diffracting structures exist.
Figure 6: Tracé de rayons lancés avec la même direction sur plasma ayant un profil elliptique Gaussien (à droite) où un effet de lentille divergente est mis en évidence et en plus le temps final étant identique les extrémités des rayons donnent une idée du plan à phase constante, et puis, à droite, à différents angle d'incide avec une même fréquence pour montrer l'effet de la présence d'un ilôt où le faisceau de rayons en arrière plan correspond au cas non-perturbé et en avant plan le cas avec un ilôt 3D en forme de cigare situé à mi-distance de la coupure en incidence normale et le bord du plasam dont la direction allongement suit la direction de propagation parallèle au grand coté du rectangle. L'intersection des rayons avec le rectangle montre clairement la déviation transverse induite par l'ilôt et la déformation des trajectoires.
Figure 6: Ray tracing (left) for a set of parallel rays propagating in an Gaussian elliptic plasma where a lens effect is clearly shown and as the final time is the same one can have an idea of the wave front by looking at the ray ends, and (right ) for different incident angles to show the impact of an island on the wave propagation. On the back the case without island all the rays are in the same plane, which is not the case with an oblong island with the main axis parallel to the longer side of the drawn rectangle. This rectangle permits to clarify by looking at the intersection points that the rays are deviated in the transverse direction to the plane including the unperturbed rays. The distortion of the rays are also seen.
La déviation via la réfraction est aussi considérée, par exemple, quand l'onde traverse des ilôts magnétiques dans les tokamaks (réflectométrie Doppler). Pour ce dernier effet, le tracé de rayon est souvent utilisé toutefois s'il existe en même temps des phénomènes de diffusion d'ondes une simulation "full-wave" doit être utilisée. L'effet Doppler est aussi observable par rétrodiffusion pour une onde diffusant vers l'avant à condition que l'amplitude de la turbulence soit suffisante toutefois cela conduit à un élargissement du spectre en k observé. Le phénomène de résonance est encore observable en 2D mais devient plus rare, les conditions de résonance devenant plus difficiles à réaliser (généralement une par direction d'espace) excepté dans les systèmes à symétrie de révolution dans un idéal qui est souvent loin de la réalité. La simulation en 3D devrait permettre de rendre proprement de la réalité Physique d'une expérience à condition que ressources informatiques l'autorisent. Toutefois les simulations 2D permettent d'accéder à la distribution spatiale des champs électromagnétiques diffusés tant que l'on reste dans le cadre de l'approximation de Born.
Figure 7: Structure du champ de l'onde sonde lorsque la perturbation de densité résonante de Bragg satisfait en même temps aux conditions de résonance de cavité (à gouche) et (à droite) et répartition spatiale du champ électrique de l'onde diffusée en présence d'une zone de turbulence localisée obtenue dans le cadre de l'approximation de Born.
Figure 7: Spatial probing wave electric field fulfilling resonant conditions in a cavity induced by a Bragg resonant density perturbation (left) and 2D Spatial evolution (contours) of scattered wave electric field after interaction with a localized turbulence area comptuted in the Born approximation framework (right).
Figure 8: Module du champ obtenu par différence en le cas perturbé et le cas non-perturbé moyenné sur 200 cas de turbulence avec diffusion vers l'avant seulement (à gauche) et avec un spectre en nombre d'ondes plus large 200 modes au lieu de 50 qui inclut les effets de rétrodiffusion de Bragg (à droite).
Figure 8: Modulus of the electric field difference between perturbed and unperturbed density profile averaged over 200 turbulence samples with a turbulence spectrum built using 50 modes that is to sa say without Bragg backscattering, and with a turbulence spectrum of 200 modes including Bragg backscattering effects (right).
Pour la Fig.8, il est utile de préciser que la réflexion de l'onde diffusée sur la couche de coupure structure le champ moyen de l'onde et montre bien la difficulté à construire une théorie qui va au-délà de l'approximation de Born car la source secondaire que constitue l'onde diffusée ne suit plus les propriétés de l'onde sonde car la source n'est plus connue exactement. Le seul point positif à retirer est que la zone considérée se comporte presque comme un point source vu de loin dans le cas d'un spectre large. Pour le cas dominé par la diffusion vers l'avant, l'onde diffusée peut être vu comme un faisceau incident (ici après réflexion sur la couche de coupure) élargi après traversée de la zone fluctuante par la diffusion vers l'avant dont il est possible de modéliser le comportement moyen (see Fig.9). Il est donc envisgeable de construire un modèle allant au-delà de l'approximation de Born basé sur ces constats.
From the Fig.8, it is possible to see that the reflection of the scattered wave on the cut-off layer gives a structured averaged scattered field, thus, as a conclusion one can say that is difficult to build a modelling going above the Born approximation due to the fact the scattered wave doesn't fulfil the properties of the probing wave, and that is difficult to determine exactly what is the source term for the next step. However one can see that the scattered field seems come from a source point seen from faraway in the case of wide wavenumber spectrum. When the forward scattering dominates, it is clear that the incident wave in interaction with the localized turbulence is boardened as a Gaussian beam, after reflection on the cut-off layer, in such configurations which have been described theoretically (see Fig. 9). It becomes possible using these facts to build a model going above the Born approximation.
L'effet des fluctuations arrive aussi pour une incidente oblique comme cela est le cas de la réflectométrie Doppler, l'élargissement est clairement visible lorsque l'on compare le cas sans turbulence de celui avec un profil de fluctuations de densité réaliste type Tore Supra comme cela peut être constaté sur la figure 10.
The fluctuations effects are also present in the case of an oblique incidence as it is for the Doppler reflectometry, the beam widening is clearly visible when a comparison is done between the case with and without density fluctuations profile, Tore-Supra like, and can be seen on the figure 10.
Figure 9: Répartition spatiale du champ électrique de l'onde en présence de turbulence. L'effet 2D d'élargissement du faisceau gaussien se traduit lors d'un instantané par la présence de sous-faisceau (à gauche). Toutefois après moyenne sur des temps longs, l'enveloppe gaussienne est reconstituée (à droite) mais de largeur accrue comme prévu par différents modèles théoriques (WKB et diffusion de photons).
Figure 9: 2D Spatial evolution of the positive part of wave electric field propagating in turbulent plasma (left). However one can notice that, after huge time averaging a wider Gaussien shape (right) is recovered instead of the sub-beam system seen in a snapshot. The width of the averaged Gaussian beam has been predicted by different modelings based on WKB approximation or photon diffusion description.
Figure 10: Visualisation du champ électrique de l'onde associé à un faisceau gaussien dans deux cas avec (à droite) et sans (à gauche) fluctuation de densité.
Figure 10: Map of the positive part of the probing electric field with (right) and without (left) density fluctuations.
Figure 11: Tracé de rayon 3D de faisceaux parallèles éclairant un tore de plasma. La fréquence choisie est légérement supérieure à la fréquence plasma maximum d'où des réflexions lorsque de l'angle d'incidence dépasse une valeur seuil. La nature 3D du déplacement est clairement visible excepté pour les rayons dans le plan équatorial du Tore et ceux à l'extérieur du plasma.
Figure 11: 3D raytracing of parallel rays lighting a plasma torus. The launched frequency is slightly greater than the maximum plasma frequency that permits to have reflections for values of incident angle far enough to normal incidence. The 3D path is clearly illustrated excepted for the rays in the equatorial plane and outside the plasma torus
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