La relation de dispersion peut être écrite si
l'hypothèse d'onde plane monochromatique est
vérifiée. Sous ces conditions l'expression du champ
électrique s'écrit
The dispersion relation can be written under the assumption that the plane is a solution of the wave equation (1). Thus the expression of the wave electric field is
où k désigne le vecteur d'onde,
r(x,y,z) est le vecteur position, w correspond à la
pulsation de l'onde et t est le temps. En remplaçant le champ
électrique associé à l'onde par l'expression
précédente, la relation de dispersion est ainsi
établie et s'écrit
where k is the wavenumber, r(x,y,z) is the position vector, w the wave pulsation, and t the time. Remplacing the previous expression into the wave equation, the dispersion relation appears after factorization, and is written as following:
Cette relation montre que le vecteur d'onde k s'annule pour une
fréquence égale à la fréquence plasma
(notion de coupure) et que l'onde ne se propage plus dans le plasma
si sa fréquence est inférieure à la
fréquence plasma ( k*k< 0).
The dispersion relation permits to show thaht the wavenumber goes to zero when the wave frequency reaches the plasma frequency (cut-off), and for lower frequencies the wave becomes evanescent (the index is a pure imaginary number).
En conclusion, pour un plasma de densité fixée, si
la fréquence de l'onde est plus petite que la fréquence
plasma l'onde ne se propage pas; plus l'onde a une fréquence
élevée par rapport à la fréquence plasma
plus son comportement se rapproche de celui d'une onde dans le
vide.
To conclude in the case of homogeneous plasma, if the frequency is lower than plasma frequency the wave doesn't propagate; higher is the frequency above the plasma frequency closer we are to the vacuum case.
La vitesse de groupe s'obtient facilement à partir de la
relation de dispersion précédente par une
dérivation de w par rapport à k d'où
From the dispersion relation the group velocity is easily obtained using the derivative of the pulsation as a function of the wavenumber.
Cette vitesse correspond à la vitesse de déplacement
de l'énergie associée à l'onde. Cette vitesse ne
pourra en aucun cas être supérieure à c.
Pratiquement cette vitesse correspond à la vitesse du signal
que l'on peut détecter. Par exemple, pour un pulse
électromagnétique (noté EM par la suite) dans un
plasma la vitesse de groupe correspond à la vitesse de
déplacement de l'enveloppe du pulse. Pour concrétiser
ce propos, il faut regarder l'animation ci-dessous + celles
présentées dans les rubriques "vitesse de phase" et "effets de la dispersion"
.
The group velocity corresponds to the speed of the wave energy. This velocity has to smaller than the speed of light. In Practice, this is the speed of the signal, which can be detected. For example, an electromagnetic (EM) pulse (wide enough) in plasmas the group velocity can be identified the speed of the pulse envelop. To see this, have a look on the movie just below and those presented in "phase velocity" and "dispersion effects" weblinks.
Chargez la version hqx de cette illustration : cas du vide - vacuum case
Le cas du vide présenté ci-dessus est particulier au
sens où le pulse se translate sans subir aucune modification
car le vide est un milieu non dispersif c'est-à-dire que
toutes les ondes EM se déplacent à la même
vitesse de groupe c égale à la vitesse de phase.
The vacuum case is a particular one, in the sense that the pulse moves without dispersion, that is to say all the frequency associated to the pulse moves at the same speed c, which is, here, equal to the phase velocity value.